量子複雑性（Quantum Complexity）とは何か
量子情報・多体系・重力理論という、一見かけ離れた三つの分野を結ぶキーワードとして、近年急速に注目を集めているのが「量子複雑性（quantum complexity）」である。これは量子状態やユニタリ操作を「どれだけ基本的な操作（ゲート）を組み合わせれば生成できるか」を測る量であり、単なる情報量やエントロピーとは本質的に異なる概念だ。
エントロピーが「情報の多さ」を測るなら、複雑性は「その情報にたどり着くための計算の困難さ」を測るともいえる。ブラックホール物理学では、熱平衡に達した後もブラックホールの内部（ワームホール）が長時間にわたり成長し続けるという現象が知られており、エントロピーだけではこの現象を説明できない。そこに複雑性が登場する。
本記事では、量子複雑性の定義と種類、時間発展の普遍的描像、ブラックホール内部との対応（CV・CA提案）、そして幾何学的解釈の精密化という四本柱に沿って、最前線の議論を整理する。
量子複雑性の定義と種類：何を「難しさ」と呼ぶのか
回路複雑性・状態複雑性・ユニタリ複雑性の違い
量子複雑性には大きく三種類の定義がある。
回路複雑性（Circuit Complexity） は、あるユニタリ操作 U をゲート集合 𝒢 を用いて誤差 ε 以内で近似するのに必要な最短ゲート数として定義される。これは量子計算の文脈で最も直接的な意味を持ち、「演算の難しさ」をそのまま数値化したものだ。ゲート集合の選び方によって値は変わり、普遍ゲート集合間の変換ではSolovay–Kitaev定理による多重対数オーバーヘッドが生じることが知られている。
状態複雑性（State Complexity） は、参照状態 |ψ_ref⟩ から目標状態 |ψ⟩ をε近似で準備するのに必要な最短ゲート数だ。こちらは「特定の量子状態を作る難しさ」を測る。参照状態の選択、誤差の定義（作用素ノルムか状態忠実度か）など複数のパラメータが結果に影響する。
ユニタリ複雑性（Unitary Complexity） は操作としてのユニタリ全体を対象にしており、状態複雑性は「参照状態を目標状態へ写す最小のユニタリ複雑性」として理解できる。その際、参照状態の安定化部分群（stabilizer）を使えば、状態複雑性はユニタリ空間の商（ゲージ自由度の除去）として自然に定式化される。
幾何学的アプローチ：測地線としての複雑性
離散的なゲート数ではなく、連続的な幾何として複雑性を定義する流れも重要だ。
Fubini–Study（FS）幾何 では、射影ヒルベルト空間上の測地線長として複雑性を定義する。特に自由スカラー場などのガウス状態に対しては、許容する生成子を制限した上で解析的に計算可能なケースがあり、ホログラフィー提案との定性的な比較が行われてきた。
Nielsen幾何 はユニタリ群上に曲がった計量（多くは右不変のリーマン計量やフィンスラー計量）を定め、回路合成を最短測地線問題として扱う。制御ハミルトニアン H(s) によってユニタリが時間発展するとき、複雑性はコスト関数 F の積分の最小値として表現される。k-局所でない生成子に大きなペナルティを課すことで、物理的な局所性を実装できる点が特徴だ。
経路積分最適化 は、CFT波動汎関数を与えるユークリッド経路積分を背景計量の変分で最適化する手法で、2次元ではLiouville作用が複雑性の役割を担う。これは「連続テンソルネットワーク」としての複雑性に近く、回路複雑性との同値性は一般には未確立だが、重力双対との幾何的対応が具体的に議論されている。
計算困難性という構造的問題
最短回路の探索は、一般に計算困難である。「与えられた回路が恒等に近いか否か」を判定する問題（Non-identity-check）がQMA完全であることが示されており、これは量子Merlin-Arthur型の最難クラスに属する。Nielsen幾何における距離計算も効率的古典アルゴリズムが存在しない可能性が議論されており、大規模系での「厳密な複雑性計算」は構造的に困難だ。実務的研究では、上界・下界の評価、特殊クラスでの解析解、確率的評価といった戦略が主流となっている。
複雑性の時間発展：線形成長・飽和・再帰の三段階
普遍的描像としての「複雑性の第二法則」
カオス的な量子系（例えばランダム局所回路やSYKモデル）では、複雑性の時間発展に普遍的なパターンが見られる。
まずスクランブリング時間 t_* ≃ (β/2π) log S（β は逆温度、S はエントロピー）以降、複雑性はほぼ線形に成長する。この線形成長は指数的に長い時間スケール（e^S 程度）まで続き、その後最大複雑性付近で飽和する。さらに極めて稀な時刻（二重指数的スケール、exp(exp(S))程度）において、大きな揺らぎ（Poincaré再帰的な複雑性の減少）が起こりうる。
Brown–Susskindはこれを「複雑性の第二法則」と呼び、熱力学の第二法則と類比した。ランダム局所回路に対してはHaferkampらが数学的に証明しており、高確率で回路サイズに比例する線形成長と指数的な飽和が確認されている。
スイッチバック効果：カオスが生み出す複雑性の遅延
局所演算子 W の「前駆体（precursor）」W(t) = U†(t)WU(t) の複雑性は、形式的には順・逆時間発展の合成として大きく見えるはずだが、カオス系ではスクランブリング時間以前に大幅な相殺が起き、線形成長の開始が遅延する。これが「スイッチバック効果」だ。
この効果は衝撃波幾何（shock wave geometry）と照合されており、ERブリッジの体積やWheeler–DeWitt（WDW）パッチの作用の時間依存に同様の遅延が現れることが検証されている。スクランブリング時間のスケールには、Maldacena–Shenker–StanfordのLyapunov指数上限 λ_L ≤ 2πk_BT/ℏ が基準となる。
SYKモデルと時間発展の可解性
SYK模型（N個のMajoranaフェルミオンによるランダム全結合q体相互作用）は、強いカオス性を持ちながら大N解析が可能な点で、ブラックホール型ダイナミクスの可解模型として中心的な役割を果たしている。Nielsen幾何に基づく演算子複雑性の時間発展では、長時間の線形成長・飽和・Lloyd限界の実現可能性が議論されている。またKrylov複雑性（K-複雑性）を用いた研究では、SYK側の「指数的成長から線形成長へのクロスオーバー」がJT重力側のCV計算と対応することが示されている。
ブラックホール内部成長との対応：CV・CA提案の核心
なぜエントロピーでは不十分なのか
AdS/CFT対応では、二つのCFTを熱場二重状態（thermofield double, TFD）として結合することで、二側面の永遠ブラックホール（両側にAsymptotic AdS領域を持つ）が記述される。この設定でブラックホールの外部は熱平衡に達し、エントロピーは一定に保たれる。しかしブラックホールの内部（Einstein–Rosen bridge）は時間とともに幾何的に成長し続ける。この「内部成長パズル」を情報論的に説明する候補として、量子複雑性が導入された。
複雑性＝体積（CV）提案
Susskindが提案したCV（Complexity = Volume）は、境界時刻に対応する最大体積の共次元1面の正則化体積 V_max を用いて、
C_V ∝ V_max / (G_N · L)
と定義する（G_N はNewton定数、L は典型的には AdS 半径）。直観的には「内部の空間的な大きさ」をそのまま複雑性に対応させる提案だ。後期時間における線形成長や衝撃波でのスイッチバック効果の再現に成功しているが、長さスケール L の選び方に任意性が残ることが構造的な課題として指摘されている。
複雑性＝作用（CA）提案
CA（Complexity = Action）提案は、CVの長さスケール任意性を回避しようとするものだ。WDWパッチ上の重力作用 I_WDW を用いて、
C_A = I_WDW / (πℏ)
と定義する。「計算コスト＝作用」という新奇な辞書であり、熱力学量との関係が豊富という利点がある。中性ブラックホールでは後期成長率がLloydの限界 dC/dt ≤ 2E/(πℏ) と整合する主張があるが、ヌル境界・ジョイント項の処方やカウンターターム選択に繊細な任意性を伴い、状況によってはLloyd上限の違反例も議論されている。
長時間スケールと非摂動効果
古典重力では ERブリッジが永遠に成長するように見えるが、有限エントロピーの量子力学系ではPoincaré再帰により成長は最終的に飽和しなければならない。このギャップを埋める鍵が非摂動的量子重力効果だ。近年、JT重力＋ランダム行列的非摂動補正が高次元ブラックホールの複雑性飽和（e^S スケール）を導くことが示され、また複雑性の生成関数がスペクトル統計の「ramp/plateau」構造を反映するという枠組みも登場している。これらは複雑性とブラックホール内部成長の対応を「非摂動的レベル」まで押し広げる方向性だ。
CV・CA比較の要点
CVは「内部の空間的大きさ」という直観的な解釈を持ち、最大体積面を幾何学的に探索する計算が中心となる。CAはヌル境界処方を要する分、計算の厳密性に関して繊細だが、長さスケールの任意性がない点が利点だ。どちらも「後期線形成長」と「スイッチバック効果」を定性的に再現し、Lloyd上限との関係が議論されているが、仮定の翻訳や違反例を含む未解決点はなお残っている。CV 2.0（WDWパッチの時空体積を複雑性に対応させる案）もCAの問題点を補う代替案として提案されている。
幾何学的解釈の精密化：どこが曖昧でどこが確かか
ペナルティと局所性の実装
Nielsen幾何において「k-局所でない生成子をどれだけ高コストにするか」はペナルティ係数 p_a の設計に委ねられている。ペナルティの設計が複雑性幾何の曲率・測地線の安定性と結びつくことが研究されており、物理的局所性を幾何にどう実装するかが重要な自由度となる。
ゲージ自由度と安定化部分群
状態複雑性は U(1) 位相の同値類上の距離であり、参照状態の安定化部分群で割った商空間として理解するのが自然だ。これを無視すると同一物理状態でも複雑性が見かけ上変動するゲージ依存性が生じる。単一量子ビットの場合でも複雑性幾何が等方でなく左不変性を欠くなどの非自明性が確認されており、精密な議論では常にゲージ処理が必要になる。
QFTにおけるUV発散
量子場理論（QFT）での状態複雑性は、自由場でもUVモード数によって発散し、参照状態の選択とカットオフの入れ方が支配的な影響を持つ。Jefferson–Myersらの研究では、ガウス状態の複雑性の発散構造とホログラフィー提案との「形式的類似」が詳細に抽出されている。CAではヌル境界カウンタータームの選択が、スイッチバック効果など複雑性の定性的特性を再現する上で本質的であることが示されている。
計算可能なクラスと実務戦略
最短回路の厳密探索が一般に困難な中、実務では（i）ガウス状態・対称性での解析解、（ii）数値最適化（射影勾配法など）、（iii）上界・下界・確率的評価、（iv）K-複雑性など関連量との比較、が主流の戦略だ。小規模系では幅優先探索（BFS）による厳密最短探索が可能だが、量子ビット数が増えると指数的に困難化するため、大規模系では別手法への移行が不可欠となる。
まとめ：量子複雑性研究の現在地と次の一手
量子複雑性は、「量子状態やユニタリをどれだけ効率的に生成できるか」という操作論的な問いから出発しながら、カオス・熱化・ブラックホール物理という巨大な問題群と接続しつつある。
線形成長・飽和・再帰という時間発展の三段階描像はランダム回路で数学的に裏付けられており、ブラックホール内部の成長とCV・CA提案を通じてホログラフィーと結びついている。一方でCV・CAのそれぞれが抱える任意性や未解決問題（長さスケール・ヌル境界処方・Lloyd上限の普遍性）は依然として議論中であり、非摂動的量子重力効果（JT重力＋ランダム行列）を通じた精密化が進んでいる。
幾何学的定式化（Nielsen幾何・FS幾何・経路積分最適化）の間の関係も、UV正則化・ゲート局所性・ゲージ自由度の違いを踏まえた精密比較が求められる段階にある。計算困難性という構造的問題は、近似・確率的評価・K-複雑性との関係付けといった戦略で迂回されているが、これらの量と「真の」複雑性の関係は今後の重要テーマだ。
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